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Cauchy, Abel, Seidel, Stokes et la convergence uniforme ; de la difficulté du raisonnement sur les limites

Un livre de Gilbert Arsac (Hermann, 2013)

Cet ouvrage est un livre d’histoire, qui devrait intéresser toutes les personnes concernées par l'enseignement des mathématiques. Cette recherche est partie d’une erreur de raisonnement relevée chez un étudiant. Il s’agissait alors de chercher si des erreurs de raisonnement de même nature pouvaient être relevées dans l’histoire des mathématiques.

Cette idée de départ m’a amené à m’intéresser à la découverte de la convergence uniforme (Seidel, 1847) au début du XIXéme siècle, un moment de l’histoire où apparaissent réellement des erreurs, c’est-à-dire des énoncés de théorèmes auxquels on peut opposer des contre-exemples. L’étude en est particulièrement passionnante pour un didacticien car :

  • d’une part, on va retrouver chez les mathématiciens des erreurs classiques d’étudiants dans le processus d’apprentissage de la notion de limite et de son utilisation ;
  • d’autre part, on verra que la découverte de la notion de convergence uniforme s’opère à travers l’analyse des échecs, des contre-exemples rencontrés, essentiellement à cause de la manipulation des séries de Fourier.
  • Faut-il parler d’obstacle épistémologique ? Je ne suis pas rentré dans ce problème de nomenclature, mais ce que l’on constate c’est que l’on passe d’un certain type de raisonnement sur les limites, qualitatif, à un raisonnement quantitatif,  c’est-à-dire centré sur l’utilisation des inégalités, et que c’est ce changement qui est décisif.J’essaie dans ce livre de caractériser le mode de raisonnement « ancien » sur les limites qui échoue devant le problème de la convergence uniforme.
  • Et cela m’amène à étudier « l’outillage mathématique » à la disposition des mathématiciens de l’époque. C’est tout un ensemble qui comporte à la fois des concepts qui ne sont pas encore tous fixés comme les notions de fonction, de fonction continue, et parmi lesquels celui de variable en analyse joue un rôle central, des symbolismes, une quantification floue, avec une explicitation irrégulière des variables, d’où des difficultés avec la négation ou le raisonnement par disjonction de cas.

Afin de permettre au lecteur de se construire une interprétation personnelle de ce moment historique, les textes de l’époque sont reproduits intégralement, il ne s’agit pas de simples extraits visant à justifier les opinions de l’auteur. Même si la plupart de ces textes (sauf celui de Seidel, jamais traduit en français) sont disponible sur internet, je pense qu’il est agréable de les avoir simultanément à disposition.

Ces textes et ces analyses devraient pouvoir être utilisés dans le cadre de travaux de recherche en didactique et épistémologie ainsi que dans le cadre de formations en particulier dans les masters des métiers de l’enseignement et de la formation.

Gilbert Arsac